七年级上册 · 数学知识总结

人教版 · 2024修订新课标 · 基本概念 · 公式 · 定理 · 定律 · 性质

1有理数（正负数与数轴）▾

【基本概念】

有理数定义：能写成 p/q 形式（p、q 为整数，q≠0）的数。

有理数分类：① 整数（正整数、0、负整数）；② 分数（正分数、负分数）。

数轴三要素：原点、正方向、单位长度。

【基本概念】

相反数：只有符号不同的两个数（0 的相反数是 0）。在数轴上关于原点对称。

绝对值：数轴上数对应的点到原点的距离，记 |a|。

【基本公式】

|a| = { a（a≥0时）；-a（a<0时） } 　任何实数的绝对值≥0。

★ 例：|+5| = 5；|-3| = 3；|0| = 0。

【基本定律】

绝对值性质：① |a| ≥ 0；② |a| = |-a|（对称性）；③ |ab| = |a||b|；④ |a/b| = |a|/|b|（b≠0）。

【相关性质】

比较有理数大小：① 数轴上右>左；② 正数>0>负数；③ 两个负数比，绝对值大的反而小。

2有理数的运算（加减乘除乘方）▾
【基本概念】
有理数加法法则：同号取同号绝对值加；异号取绝对值大的减，符号取绝对值大的。
有理数减法法则：减去一个数等于加上它的相反数：a - b = a + (-b)。
有理数乘法法则：同号得正，异号得负，结果的绝对值是各因数绝对值的积。
有理数除法法则：同号得正，异号得负，结果的绝对值是各因数绝对值的商；除以非 0 数等于乘倒数。
有理数乘方：aⁿ（n 个 a 相乘）。正数任何次幂为正；负数偶次幂为正、奇次幂为负。
【基本定律】
交换律、结合律、分配律在有理数范围全部适用（与小学定律相同）。
★ 例：-2³ = -8（负号不在内）；(-2)³ = -8（负号在内）；(-2)⁴ = 16（偶次幂负数也得正）。
【基本概念】
【运算顺序】① 括号 → ② 乘方 → ③ 乘除 → ④ 加减 → 同级从左到右。
【相关性质】
科学记数法：绝对值≥10 的数写为 a×10ⁿ（1≤|a|<10，n 为整数）。例：360000 = 3.6×10⁵。
近似数取位：精确到某位用四舍五入，看保留位的下一位。

3整式的加减（含合并同类项）▾
【基本概念】
单项式：数与字母的积（不含加减），如 3x、-2a²b、5。
系数：单项式中的数字因数；次数：所有字母指数之和。
多项式：几个单项式的和，如 3x²-2x+5（按次数从高到低排列）。
同类项：所含字母相同、相同字母的指数也相同的项（系数可不同）。
【基本定律】
合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母及指数不变。
★ 例：3x + 5x = 8x；7xy - 3xy = 4xy；5x²y + 3xy²（不同类，无法合并）。
【基本定理】
去括号法则：括号前是 +：去掉括号和 +；括号前是 -：去掉括号和 -，括号内各项变号。
★ 例：3x-(2x-5) = 3x-2x+5 = x+5；5x+(2x-3) = 5x+2x-3 = 7x-3。
【基本概念】
【整式加减步骤】① 去括号；② 合并同类项；③ 按某一字母升幂/降幂排列。

4一元一次方程（核心方程）▾
【基本概念】
一元一次方程：含一个未知数且未知数次数是 1 的方程。一般形式 ax+b=0（a≠0）。
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。
解方程：求方程的解的过程。
【基本定律】
等式性质 1：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍成立。
等式性质 2：等式两边同时乘（或除）同一个非 0数，等式仍成立。
【基本概念】
解一元一次方程五步：① 去分母；② 去括号；③ 移项（变号）；④ 合并同类项；⑤ 系数化为 1。
★ 例：2(x+3)=10 → 2x+6=10 → 2x=4 → x=2。
★ 例（含分数）：x/2 + 1 = x/3 → 3x + 6 = 2x → x = -6（先去分母×6，再移项）。
【基本概念】
列方程解应用题一般步骤：① 审题找等量；② 设未知数；③ 列方程；④ 解方程；⑤ 检验写答。

5几何图形初步（点线面体）▾
【基本概念】
几何图形分类：① 立体图形（长方体、圆柱等）；② 平面图形（长方形、圆等）。
点、线、面、体：点动成线，线动成面，面动成体。
直线、射线、线段：直线无端点无限延伸；射线一个端点；线段两个端点有长度。
【基本定理】
两点间线段最短：过两点的所有连线中，线段最短。
点的轨迹：过一点可画无数条直线；两点确定一直线。
【基本概念】
角：由一个顶点 + 两条射线（边）组成。角的大小与边长短无关，与张开程度有关。
【基本定律】
余角与补角定理：① 同角（或等角）的余角相等；② 同角（或等角）的补角相等。
余角定义：两角和 = 90°（互余）；补角定义：两角和 = 180°（互补）。