八年级上册 · 数学知识总结

人教版 · 2024修订新课标 · 基本概念 · 公式 · 定理 · 定律 · 性质

1三角形（边角关系）▾

【基本概念】

三角形三要素：三条边、三个内角、三个顶点。

三角形分类：① 按角分：锐角/直角/钝角三角形；② 按边分：等边/等腰/不等边三角形。

三角形的高：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段（任何三角形有 3 条高）。

三角形的中线：连接顶点与对边中点的线段（中线分对边为两等份）。

三角形的角平分线：平分一个内角的射线（从一个顶点引出）。

【基本定理】

三角形内角和定理（核心）：三角形的内角之和= 180°（任意三角形，恒成立）。

【基本定理】

三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和；外角大于任一不相邻内角。

【基本定理】

三角形三边关系定理：任意两边之和>第三边；任意两边之差<第三边（构成三角形必要且充分）。

【相关性质】

三角形的稳定性：三边确定后形状唯一，且不易变形（如建筑钢架）。

【基本概念】

【求第三角】已知两角，第三角 = 180° - 已知两角之和。

2全等三角形▾
【基本概念】
全等三角形：两个三角形能完全重合（形状、大小相同）。
对应边、对应角：重合时的对应元素。
全等符号「≌」：△ABC ≌ △A'B'C' 表示 A↔A', B↔B', C↔C'。
【基本定理】
全等三角形判定 1（SSS）：三边对应相等。
【基本定理】
全等三角形判定 2（SAS）：两边及其夹角对应相等。
【基本定理】
全等三角形判定 3（ASA）：两角及其夹边对应相等。
【基本定理】
全等三角形判定 4（AAS）：两角及其中一角的对边对应相等。
【基本定理】
全等三角形判定 5（HL 直角专用）：斜边和一直角边对应相等。
【相关性质】
全等三角形性质（SSS 全等后）：对应角相等、对应边相等。
【基本概念】
【证全等步骤】① 找已知条件（边或角）；② 选判定定理；③ 按定理顺序证明；④ 得出结论。

3轴对称（含垂直平分线）▾
【基本概念】
轴对称图形：沿一条直线对折，两部分完全重合。直线叫对称轴。
垂直平分线：垂直于一条线段且平分这条线段的直线。
对称点：关于对称轴对称的两点。
【基本定理】
线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
【基本定理】
等腰三角形三线合一（核心）：等腰三角形底边上的中线、高、顶角平分线三线合一（同一条直线）。
等腰三角形性质：两腰相等；两底角相等；顶角+2×底角=180°。
等边三角形性质：三边相等三角均 60°；具有稳定性。
【基本概念】
【画对称轴】找出对称的两点（或两点组），从中点作垂线即对称轴。

4整式乘法与因式分解▾
【基本概念】
整式乘法：单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式。
【基本公式】
幂的运算：
① aᵐ × aⁿ = a^(m+n)　（同底数幂相乘，指数相加）
② aᵐ ÷ aⁿ = a^(m-n)（a≠0，m>n）　（同底数幂相除，指数相减）
③ (aᵐ)ⁿ = a^(m·n)　（幂的乘方，指数相乘）
④ a⁰ = 1（a≠0）　（任何非零数的零次幂等于 1）
【基本公式】
乘法公式（核心）：
① 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
② 完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²　　(a-b)² = a² - 2ab + b²
【基本概念】
因式分解四方法：① 提公因式；② 公式法（平方差/完全平方）；③ 十字相乘（二次三项式）；④ 分组分解。
★ 例：x² - 9 = (x+3)(x-3)；x² + 6x + 9 = (x+3)²；ab + a + b + 1 = (a+1)(b+1)（分组）。
【相关性质】
因式分解与整式乘法互逆：整式乘法是展开，因式分解是逆变形（结果要分解到不能为止）。

5分式（分式方程入门）▾
【基本概念】
分式：形如 A/B（A、B 是整式，B 含字母，B≠0）的式子。
分式有意义条件：分母 ≠ 0（关键）。
分式值为 0：分子 = 0 且分母 ≠ 0。
【基本定律】
分式基本性质：分式的分子与分母同 ×（或 ÷）一个非 0的整式，分式值不变。
★ 例：2x/(4x²)=1/(2x)（同 ÷ 2x）。
【基本公式】
分式乘除：乘法 (a/b) × (c/d) = ac/bd；除法 (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)。
分式加减：① 同分母：分子相加减；② 异分母：先通分化为同分母，再加减。
【基本概念】
【分式方程解法】① 去分母（方程两边同 × 最简公分母）；② 解整式方程；③ 检验（增根使分母=0，必须舍去）。